Thực đơn
Cân_bằng_Nash Định lý NashTa chỉ chứng minh cho trò chơi gồm 3 người gồm Elaine, George và Neumann, trường hợp tổng quát được chứng minh tương tự.
Ta sẽ chứng minh tồn tại chiến lược hỗn hợp p ∗ , q ∗ , r ∗ {\displaystyle \ p^{*},q^{*},r^{*}} là cân bằng Nash của trò chơi.
Chứng minh này dùng Định lý điểm bất động Kakutani.
Cho hàm tập hợp f : X → s Y {\displaystyle \ f:X\to _{s}Y} , một điểm bất động của f {\displaystyle \ f} là một điểm x ∗ {\displaystyle \ x^{*}} trong X {\displaystyle \ X} sao cho x ∗ ∈ f ( x ∗ ) {\displaystyle \ x^{*}\in f(x^{*})} .
Định lý điểm bất động Kakutani: Cho X {\displaystyle \ X} là một đa diện trong không gian R n {\displaystyle \ R^{n}} và f : X → s Y {\displaystyle \ f:X\to _{s}Y} là hàm tập hợp thỏa mãn f ( x ) {\displaystyle \ f(x)} tập lồi trong X {\displaystyle \ X} với mọi x ∈ X {\displaystyle \ x\in X} . Nếu đồ thị của f {\displaystyle \ f} là tập đóng trong X × X {\displaystyle \ X\times X} thì tồn tại x ∗ ∈ X {\displaystyle \ x^{*}\in X} sao cho x ∗ ∈ f ( x ∗ ) {\displaystyle \ x^{*}\in f(x^{*})} .Hướng chứng minh định lý Nash:
F ( p , q , r ) = { ( p ′ , q ′ , r ′ ) | p ′ ∈ P ( q , r ) , q ′ ∈ Q ( p , r ) , r ′ ∈ R ( p , q ) } {\displaystyle \ F(p,q,r)=\{(p^{'},q^{'},r^{'})|p^{'}\in P(q,r),q^{'}\in Q(p,r),r^{'}\in R(p,q)\}} .Chứng minh F ( p , q , r ) {\displaystyle \ F(p,q,r)} là tập lồi.
Khi đó theo định lý điểm bất động Kakutani tồn tại một điểm bất động của F {\displaystyle \ F} , nghĩa là ta tìm được một điểm w ∗ {\displaystyle \ w^{*}} sao cho w ∗ ∈ F ( w ∗ ) {\displaystyle \ w^{*}\in F(w^{*})} và định lý đã được chứng minh vì w ∗ = ( p ∗ , q ∗ , r ∗ ) {\displaystyle \ w^{*}=(p^{*},q^{*},r^{*})} được tạo thành từ 3 vector p ∗ {\displaystyle \ p^{*}} , q ∗ {\displaystyle \ q^{*}} và r ∗ {\displaystyle \ r^{*}} sao cho p ∗ ∈ P ( q , r ) {\displaystyle \ p^{*}\in P(q,r)} , q ∗ ∈ Q ( p , r ) {\displaystyle \ q^{*}\in Q(p,r)} và r ∗ ∈ R ( p , q ) {\displaystyle \ r^{*}\in R(p,q)} . Điều này chứng tỏ p ∗ {\displaystyle \ p^{*}} , q ∗ {\displaystyle \ q^{*}} và r ∗ {\displaystyle \ r^{*}} là một cân bằng Nash.
Thực đơn
Cân_bằng_Nash Định lý NashLiên quan
Cân bằng Nash Cân bằng nội môi Cân bằng nội môi năng lượng Cân bằng sinh thái Cân bằng hóa học Cân bằng đá Cân bằng cơ học Cân bằng hơi–lỏng Cân bằng Ricardo Cân bằng ưa nước - ưa béoTài liệu tham khảo
WikiPedia: Cân_bằng_Nash